f(f(x)) = -x

最近また「メタマジック・ゲーム―科学と芸術のジグソーパズル」を引っ張りだして寝る前につまみ読みしている。
この本買ってからもう15年ぐらいたって、何回も読み直してるけどまったく飽きないな。というか、僕の頭脳にとっては内容が難解で、何度も読んでちょっとずつ意味がわかるってのが真相のような・・・

で、この本に載ってた数学の問題でやっと答えが解ったのがあるので紹介。

任意の実数xに対して、f(f(x)) = -x となる実数値関数fを1つ挙げよ。

fが複素数返してもいいならf(x) = ixってだけの問題ですが、実数しか使っちゃだめです。
すごいシンプルだけど、面白い問題ですね。

<< 台湾最終日 Site Top f(f(n)) = n+1 >>

Comments

野茶王
2009/10/05 02:02 PM
-√x^2 とかでどう?
miyano
2009/10/05 02:36 PM
それだと xが負のときにうまくいかないYo!

f(-1) = -sqrt((-1)^2) = -sqrt(1) = -1
f(f(-1)) = f(-1) = -1
tadahiro
2009/10/05 03:29 PM
↓ こういうのは無しですよねw
double f(double x) {
static int i = 0;
if (++i % 2) {
return -x;
} else {
return x;
}
}

マルチスレッドで動作が保障できないかw
miyano
2009/10/05 04:09 PM
ソノ発想ハ、ナカッタワ・・・(by 板尾の嫁)
一応fは数学的な意味での関数(もしくは純粋関数型言語における関数)ということで、ひとつw
なので、xが一定ならf(x)も常に一定な値を返さないと駄目ッス!
matsu
2009/10/05 05:24 PM
最近脳がワイン漬けなので、リハビリに…

tadahiroさんのアイデアを進めて、

・符号は一度だけ反転させたい
→なんらかの形で符号を反転させたことを覚えておきたい
・絶対値は変わらないので、どこかに行って戻ってくるイメージ
→どこかに行ったことを記憶したいなぁ
→あるエリアだけで反転して戻すのかな
→実数を二つに分けるとしたら0が普通だけど、符号問題なので使えない
→次に分けるポイントとしては1があがるかな
 *実数の代数的構造は体なので、加法的に見れば零元を基準にマイナス元が存在し、乗法的に見れば単位元を基準に逆元が存在する

と考えを進めたら、こんな式思いつきました。

|x| < 1 のとき f(x) = -1/x
|x| > 1 のとき f(x) = 1/x

あとはx=0, ±1の場合だけど、ここで詰まってしまいました。
2回の操作で三値をローテーションさせるのは難しそう。
別のアプローチが必要かな?
matsu
2009/10/05 05:46 PM
追記です。

三値でローテーションするのは難しいので、
とりあえず0とそれ以外に分けて。。。

f(0) = 0

さらに1/xといえば∞が思い出されて、±1に±∞を合わせると4つになる。
これをくるくる回せば・・・
虚数iって複素平面の90度回転だから、こんな感じ?
だめでしょうか???

f(1) = ∞
f(∞) = -1
f(-1) = -∞
f(-∞) = 1
miyano
2009/10/05 06:29 PM
matsuさん:
そう、元の値を覚えつつ、どうやってxに符号を反転させるかどうかのフラグをエンコードするかっていう問題なんですよね。
プログラムのハック的な面白さがあります。

>f(1) = ∞
∞っていう実数はないので、一応反則技ということで、ひとつ。

僕はfをf:R->Rの関数でなく、整数のみを扱うf:Z->Zの関数の場合をまず考えたら解けました。
matsuさんにこれ言うと、もう答えいってるようなものかもしれないけどw
matsu
2009/10/05 07:01 PM
整数の場合は解けました!

フラグを反転さたいので、整数→bool(二値)の演算を考えると
・b(x) = sign(x) : 符号を見る
・b(x) = x % 2 : 偶数奇数で分ける
の二つが考えられます。

これを組み合わせればOK。
一回の演算で偶奇反転し、片側のときのみ符号反転すればよいですね。

xが偶数のとき f(x) = x + 1
xが奇数のとき f(x) = -x + 1

実数の場合はどうするのだろう???
正負以外で、元に戻せる形で二つに分けられるとよいのだけれど。
matsu
2009/10/05 09:17 PM
岩盤浴していて、滴る汗を見てはっと気づきました!
実数でも整数部分だけとり出して同じ処理すればよいですね。

あるいは、よりスマートに、1動かすところを0.5動かすのでもよいかも。
小数部分が0.5以上かどうかで分岐します。

良問ですね!
miyano
2009/10/05 09:57 PM
matsuさん:
さすが!完璧ですね!

ただ細かいですが以下は厳密には間違ってますね。たとえば f(f(-3)) は3になりません。偶奇反転には絶対値を考慮しないと駄目だと思います。
>xが偶数のとき f(x) = x + 1
>xが奇数のとき f(x) = -x + 1


>小数部分が0.5以上かどうかで分岐します。
まさにそのとおりで、調べたところ、実は数年前にhatenaではやった問題らしく、見た中で一番エレガントな解法はこれでした。

http://d.hatena.ne.jp/nozom/20060421/1145657391
>>f(X.0Y) = -X.1Y
>>f(X.1Y) = X.0Y
>>ただしX.0YとかX.1Yとかは実数の二進表現。Xは符号つき。1.00000… = 0.11111…とか複数の表現があるときはテキトーにnormalize。

2進数表記にして小数点第1位のビットをみて符号反転を決めるわけですね。すごい綺麗。
りこぴん
2009/10/05 11:06 PM
さっすが先生www
matsu
2009/10/05 11:28 PM
なるほど。

汗が落ちるのを見て、小数点以下を切り捨てて考えればいいかと思いつき、
さらに考察を進めていくうちに、動かす量が1である必然性はないなと気づきました。
それで、10進数で考えていたので0.5が綺麗かなと思って選びました。

結局、問題の本質は、正負とは別の基準で実数全体を二分するということ。
二通りの方法で分類するということは、2ビット使用することになる。
最上位ビットが符号、小数点第一位ビットを反転フラグにしようというわけですね。

ただ、反転フラグは小数点第一位である必然性はない。
整数最下位ビットに割り当てれば、最初の偶奇を用いた回答になり、
小数点第一位ビットに割り当てれば、次の0.5で分ける回答になる。

とても美しいです。
具体的な思考から初めて、徐々に本質にたどり着ける問題に出会うと、数学的感性が研ぎ澄まされる気がします。
酔いがさめました。明日は仕事しよう。。。
miyano
2009/10/05 11:58 PM
りこぴん:
いや〜数学って、本当にいいものですね〜(´・ω・`)b

matsu:
汗が落ちるの見て、切捨てを思いついたってことか!
遠州のニュートンや!!!
野茶王
2009/10/06 01:56 AM
思いつきで書いちゃいましたが、結構難しい問題だったんですね。

じゃあ

sin(θ+π) = -sinθ
sin(-θ) = -sinθ

なので、

f(θ) = sin-1(sin(θ+π/2))

ただし、アークサインのとる範囲は、
2nπ <= θ < 2(n+1)π として
sinθとsin(θ+π/2)が同じ符号のときは、2nπ+π/2 から 2(n+1)π+π/2
符合が違うときは、-2(n+1)π-π/2 から -2nπ-π/2 とする。

無理やりですね。。
miyano
2009/10/06 10:26 AM
野茶王:
おお〜これも面白い解だ!
rが離散的な極座標平面みたいなものを考えて、θを90度ずつ回転させて象限間を往来するというイメージかな?
matsu
2009/10/06 02:40 PM
次元拡張ですね!
f:R→Rの写像ですが、
g:R→R×Z、h:R×Z→Rとして、f = h・g と考えればよいのですね。

だいたいこんなイメージ?(細かいところは適当です)
g(x) = g(sinθ+2n) = (θ, n) (ただし0<=θ<π)
h(θ, n) = -cosθ + 2n (0<=θ<π/2)
h(θ, n) = -cosθ - 2n (π/2<=θ<π)

結局、小数点以下切り捨ての解法も、小数点第一位で分岐する解法も、Rを一旦二変数に分離して、片方の変数の範囲で符号反転処理を分岐するという点では、同じことなんですね。
dsk
2009/10/23 08:06 PM
この問題だとあまり面白くないので、もうすこし面白い問題を。

すべての正の整数 n に対して
f(f(n)) = n+1
となるような関数fは存在しないことを示せ。
dsk
2009/10/23 08:08 PM
間違えました。

すべての正の整数 n に対して
f(f(n)) = n+1
となるような正の整数から正の整数への写像fは存在しないことを示せ。

fの定義域だけではなく、値域も「正の整数」でないといけません。
miyano
2009/10/24 12:31 PM
うーん、以下の背理法であってるかな?

--------
このようなfが存在すると仮定する。

fは単射である。(単射でないとすると、f(n)=f(m)となるn,m(n!=m)が存在し、f(f(n))=f(f(m))となるが、一方f(f(n))=n+1、f(f(m))=m+1よりf(f(n))!=f(f(m))であるから矛盾する)

f(1)=kとおく...(1)
fの定義よりkは正の整数であり、k!=1である。(k=1だとするとf(f(1))=f(1)=1となり定義に矛盾するため)

また、定義よりf(f(k-1))=kである。
ここで右辺に(1)を代入してf(f(k-1))=f(1)
fが単射であるから f(k-1)=1...(2)

さらに定義より以下が成り立つ
f(2n)=f(f(...f(n)...)) (fは2n個並んでいます)
=f(n)+n...(3)

ここでn=2k-2のときを考える。
f(2k-2)=f(2(k-1))
=f(k-1)+k-1 [(3)より]
=1+k-1 [(2)より]
=k
=f(1) [(1)より]

fが単射であるから2k-2=1であり、これを解いてk=3/2。
これはkが整数であることと矛盾する。
したがってこのようなfは存在しない。
dsk
2009/10/24 06:33 PM
fが単射であることとその証明、(2)式までは正しいと思います。
(2)式ではkは特定の1つの数を表しています。これは、
f(f(1)-1) = 1
と書いても同じ意味です。

(3)式ですが、
前半は、f(f(2n-1)) = 2n-1 + 1 = 2nだから、
f(2n) = f( f(f(2n-1) ) = f^3(2n-1) = ... = f^{2n+1}(n)
となります。すなわち f は 2n+1個並びます。
後半は、
f^{2n+1} (n) = f^{2n-1}(n)+1 = ... = f^3(n) + n-1 = f(n) + n
ですね。
(3)式の成立自体は正しいです。

残りの議論で f(1) = 3/2 を導く過程も問題なく正しい解答だと思います。


これは実は、数学オリンピックの1987年の問題(この年は易しい問題が
多かったです)を易しく改題したもので、元の問題は
f(f(n) = n+1
のところが
f(f(n) = n+1987
になっているものです。
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先にショップレビューだけさせて頂きました。
また何か購入したいと思います。
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デザインは好みがありますが、ベルロスの時計にデザインの上で、特別秀でたものを私個人は感じません。
独特な形状のお時計も専用の工具で新品同様に復元させていただきます。
腕時計メーカーとしてはまだ若いメーカーでありながら、独立後シャネルからのバックアップを受けるなど、その知名度と期待度は折り紙付き。
ラルフ・ローレンが2005年発表の「BR01」に一目惚れし自社の広告ビジュアルに大々的に使用したのも有名です。
すぐと言ってもノーメンテで10年近く普通に使える時計もありますがね。
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そういう観点から機械式時計なら全て丈夫と言えます。
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オーバーホールをしたとしても、買取価格にそれをペイできるだけの上乗せは期待できないからです。
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4.1 ベル&ロスに理解ある買取店を選ぶ!当店のベル&ロス専任技術者が豊富な経験でお時計に起こっているどんな小さな不具合も見落とさずに状態を診断いたします。
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2020/05/25 02:33 AM
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本能に訴えてくるプロポーションなのです。
クロノグラフの計時結果は、時刻を読むように3時位置の同軸積算計でチェックが可能です。
ゲットしたときには電池が切れて止まっていたため、買った後もしばらく機械式時計だと思っていて、あれ?
ボックスタイプでたくさんの腕時計が収納できるものや、持ち運びに便利な1本用、インテリアに馴染む木製スタンドなど、たくさんのブランドから色々な商品が販売されています。
高品質なシチズンの腕時計を手に入れて、身に付けるものをワンランク上質にしませんか?
 そして、古い時計だから期待していなかったんですが、インデックスの蛍光は今なお健在です。
この辺のデザイン力の差というのは、いまでも存在している気がします。
耐磁性、耐久性に優れたシリコン製ヒゲセンマイの採用で、4年保証を実現しました。
耐久性が良いので長期にわたってずっと使い続けていくことができる丈夫な時計です。
その機能性はもちろん、ファッションアイテムとしても人気です。
2 バリエーションも豊富なオメガ『シーマスター』の人気定番モデルはこれ!今回心斎橋店の店頭でお売り頂きましたモデルはスピードマスター・ムーンフェイズ型番3576.50と言うモデルです。
さてそんなこちらのオメガの時計を今回お売り頂きましたお客様は当店を初めてご利用頂く方でした。
「スポーティ」「無骨」「男=漢」らしい時計を欲する方々は、オメガやロレックスのスポーツモデルを選ぶのです。
シーマスターはダイビング用に作られた時計であるため、滑り止めになるようにデザインされているそうです。
 スイスの時計職人の、デザインにかける心遣いは一流だとおもいます。
ロレックスのサブマリーナやオメガのシーマスター、またカルティエのパシャCなど、名品と呼ばれる時計にはさまざまなものがありますが、どれを選ぶべきかは迷うもの。
通常使用の美品であれば、14万円が最高値の目安となります。
FizidwidayjaR
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適宜、確認しよう一方で時計修理の専門店は安心感は正規のメーカー修理に劣るものの、圧倒的な安さがあります。
「メーカー修理」と「時計修理の専門店」です。
この記事では大阪府にある時計修理店の中から、特にネットでの口コミ件数が多い10店をピックアップしてご紹介しています。
このページでは、オメガのオーバーホールを行う修理店を比較し、5選を紹介しています。
またいろいろな業者に相見積もりを出してみて知ったのですが、時計修理店によってもオーバーホール料金はバラバラです。
このブログでは私が身銭を削って色んな業者を試して、安いのに品質の良いベストな業者を紹介していくので引き続きチェックしていてくださいね! 「安かろう悪かろう」という言葉がある通り、安くて品質の悪い業者もまれにあるからです。
星の輝きをモチーフとしたラグジュアリーなデザインのため、ハリウッド女優のニコール・キッドマンや世界的なトップスターの愛好者が多いセレブリティな時計として定評のあるシリーズとなっている。
具体的な見積もり金額を載せているのでイメージしやすいと思います。
あまり覚えて無いと思います。
メーカー修理はロレックスの場合は日本ロレックスで、オメガの場合はスウォッチです。
機械式時計の場合はクォーツ時計のように電池交換がないのでこの辺りの判断は難しいですがぜひ上記を参考にしてみてください! また1962年に、アメリカの飛行機が沈没した際、救出に向かったダイバーが「深海45mまで潜り、何か持ち帰れるものはないか探して見つかったのは、シーマスターだけだった。
この時計、究極に欲しい!部品は当然、純正部品を使用。
なぜなら、時計の内部には何種類もの潤滑油を使用しているからです。
たとえば潤滑油が切れていたらさしてくてますし、歯車などがボロボロになっていたら交換してくれます。
これらを防ぐためにも定期的に分解して洗浄し、油をさしてやる必要があるのです。
これらの店では修理だけでなく定期的なオーバーホールも受けてくれます。
ただし部品破損・交換などがあれば別途修理代が加算されるので注意が必要です。
残りの人生あと40年生きたとして、8〜10回ほどのオーバーホール(金額にして20〜40万円程度)がかかる計算です。
ですから、当然一回やればもう二度としなくていいなんてことはありません。
一般的に3年〜5年周期で行うのが推奨されています。
一番の違いは料金でしょう。
更に古いモデルのオーバーホール料金は?
安くてちゃんとした修理をしてくれる(安心できる)業者を見つけるのが重要です。
そう考えると少しでも安くオーバーホールをしてくれる業者を探すのはもはや必須ですね。
ですから時計を長く使いたいなら必須といえます。
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