f(f(x)) = -x

最近また「メタマジック・ゲーム―科学と芸術のジグソーパズル」を引っ張りだして寝る前につまみ読みしている。
この本買ってからもう15年ぐらいたって、何回も読み直してるけどまったく飽きないな。というか、僕の頭脳にとっては内容が難解で、何度も読んでちょっとずつ意味がわかるってのが真相のような・・・

で、この本に載ってた数学の問題でやっと答えが解ったのがあるので紹介。

任意の実数xに対して、f(f(x)) = -x となる実数値関数fを1つ挙げよ。

fが複素数返してもいいならf(x) = ixってだけの問題ですが、実数しか使っちゃだめです。
すごいシンプルだけど、面白い問題ですね。

<< 台湾最終日 Site Top f(f(n)) = n+1 >>

Comments

野茶王
2009/10/05 02:02 PM
-√x^2 とかでどう?
miyano
2009/10/05 02:36 PM
それだと xが負のときにうまくいかないYo!

f(-1) = -sqrt((-1)^2) = -sqrt(1) = -1
f(f(-1)) = f(-1) = -1
tadahiro
2009/10/05 03:29 PM
↓ こういうのは無しですよねw
double f(double x) {
static int i = 0;
if (++i % 2) {
return -x;
} else {
return x;
}
}

マルチスレッドで動作が保障できないかw
miyano
2009/10/05 04:09 PM
ソノ発想ハ、ナカッタワ・・・(by 板尾の嫁)
一応fは数学的な意味での関数(もしくは純粋関数型言語における関数)ということで、ひとつw
なので、xが一定ならf(x)も常に一定な値を返さないと駄目ッス!
matsu
2009/10/05 05:24 PM
最近脳がワイン漬けなので、リハビリに…

tadahiroさんのアイデアを進めて、

・符号は一度だけ反転させたい
→なんらかの形で符号を反転させたことを覚えておきたい
・絶対値は変わらないので、どこかに行って戻ってくるイメージ
→どこかに行ったことを記憶したいなぁ
→あるエリアだけで反転して戻すのかな
→実数を二つに分けるとしたら0が普通だけど、符号問題なので使えない
→次に分けるポイントとしては1があがるかな
 *実数の代数的構造は体なので、加法的に見れば零元を基準にマイナス元が存在し、乗法的に見れば単位元を基準に逆元が存在する

と考えを進めたら、こんな式思いつきました。

|x| < 1 のとき f(x) = -1/x
|x| > 1 のとき f(x) = 1/x

あとはx=0, ±1の場合だけど、ここで詰まってしまいました。
2回の操作で三値をローテーションさせるのは難しそう。
別のアプローチが必要かな?
matsu
2009/10/05 05:46 PM
追記です。

三値でローテーションするのは難しいので、
とりあえず0とそれ以外に分けて。。。

f(0) = 0

さらに1/xといえば∞が思い出されて、±1に±∞を合わせると4つになる。
これをくるくる回せば・・・
虚数iって複素平面の90度回転だから、こんな感じ?
だめでしょうか???

f(1) = ∞
f(∞) = -1
f(-1) = -∞
f(-∞) = 1
miyano
2009/10/05 06:29 PM
matsuさん:
そう、元の値を覚えつつ、どうやってxに符号を反転させるかどうかのフラグをエンコードするかっていう問題なんですよね。
プログラムのハック的な面白さがあります。

>f(1) = ∞
∞っていう実数はないので、一応反則技ということで、ひとつ。

僕はfをf:R->Rの関数でなく、整数のみを扱うf:Z->Zの関数の場合をまず考えたら解けました。
matsuさんにこれ言うと、もう答えいってるようなものかもしれないけどw
matsu
2009/10/05 07:01 PM
整数の場合は解けました!

フラグを反転さたいので、整数→bool(二値)の演算を考えると
・b(x) = sign(x) : 符号を見る
・b(x) = x % 2 : 偶数奇数で分ける
の二つが考えられます。

これを組み合わせればOK。
一回の演算で偶奇反転し、片側のときのみ符号反転すればよいですね。

xが偶数のとき f(x) = x + 1
xが奇数のとき f(x) = -x + 1

実数の場合はどうするのだろう???
正負以外で、元に戻せる形で二つに分けられるとよいのだけれど。
matsu
2009/10/05 09:17 PM
岩盤浴していて、滴る汗を見てはっと気づきました!
実数でも整数部分だけとり出して同じ処理すればよいですね。

あるいは、よりスマートに、1動かすところを0.5動かすのでもよいかも。
小数部分が0.5以上かどうかで分岐します。

良問ですね!
miyano
2009/10/05 09:57 PM
matsuさん:
さすが!完璧ですね!

ただ細かいですが以下は厳密には間違ってますね。たとえば f(f(-3)) は3になりません。偶奇反転には絶対値を考慮しないと駄目だと思います。
>xが偶数のとき f(x) = x + 1
>xが奇数のとき f(x) = -x + 1


>小数部分が0.5以上かどうかで分岐します。
まさにそのとおりで、調べたところ、実は数年前にhatenaではやった問題らしく、見た中で一番エレガントな解法はこれでした。

http://d.hatena.ne.jp/nozom/20060421/1145657391
>>f(X.0Y) = -X.1Y
>>f(X.1Y) = X.0Y
>>ただしX.0YとかX.1Yとかは実数の二進表現。Xは符号つき。1.00000… = 0.11111…とか複数の表現があるときはテキトーにnormalize。

2進数表記にして小数点第1位のビットをみて符号反転を決めるわけですね。すごい綺麗。
りこぴん
2009/10/05 11:06 PM
さっすが先生www
matsu
2009/10/05 11:28 PM
なるほど。

汗が落ちるのを見て、小数点以下を切り捨てて考えればいいかと思いつき、
さらに考察を進めていくうちに、動かす量が1である必然性はないなと気づきました。
それで、10進数で考えていたので0.5が綺麗かなと思って選びました。

結局、問題の本質は、正負とは別の基準で実数全体を二分するということ。
二通りの方法で分類するということは、2ビット使用することになる。
最上位ビットが符号、小数点第一位ビットを反転フラグにしようというわけですね。

ただ、反転フラグは小数点第一位である必然性はない。
整数最下位ビットに割り当てれば、最初の偶奇を用いた回答になり、
小数点第一位ビットに割り当てれば、次の0.5で分ける回答になる。

とても美しいです。
具体的な思考から初めて、徐々に本質にたどり着ける問題に出会うと、数学的感性が研ぎ澄まされる気がします。
酔いがさめました。明日は仕事しよう。。。
miyano
2009/10/05 11:58 PM
りこぴん:
いや〜数学って、本当にいいものですね〜(´・ω・`)b

matsu:
汗が落ちるの見て、切捨てを思いついたってことか!
遠州のニュートンや!!!
野茶王
2009/10/06 01:56 AM
思いつきで書いちゃいましたが、結構難しい問題だったんですね。

じゃあ

sin(θ+π) = -sinθ
sin(-θ) = -sinθ

なので、

f(θ) = sin-1(sin(θ+π/2))

ただし、アークサインのとる範囲は、
2nπ <= θ < 2(n+1)π として
sinθとsin(θ+π/2)が同じ符号のときは、2nπ+π/2 から 2(n+1)π+π/2
符合が違うときは、-2(n+1)π-π/2 から -2nπ-π/2 とする。

無理やりですね。。
miyano
2009/10/06 10:26 AM
野茶王:
おお〜これも面白い解だ!
rが離散的な極座標平面みたいなものを考えて、θを90度ずつ回転させて象限間を往来するというイメージかな?
matsu
2009/10/06 02:40 PM
次元拡張ですね!
f:R→Rの写像ですが、
g:R→R×Z、h:R×Z→Rとして、f = h・g と考えればよいのですね。

だいたいこんなイメージ?(細かいところは適当です)
g(x) = g(sinθ+2n) = (θ, n) (ただし0<=θ<π)
h(θ, n) = -cosθ + 2n (0<=θ<π/2)
h(θ, n) = -cosθ - 2n (π/2<=θ<π)

結局、小数点以下切り捨ての解法も、小数点第一位で分岐する解法も、Rを一旦二変数に分離して、片方の変数の範囲で符号反転処理を分岐するという点では、同じことなんですね。
dsk
2009/10/23 08:06 PM
この問題だとあまり面白くないので、もうすこし面白い問題を。

すべての正の整数 n に対して
f(f(n)) = n+1
となるような関数fは存在しないことを示せ。
dsk
2009/10/23 08:08 PM
間違えました。

すべての正の整数 n に対して
f(f(n)) = n+1
となるような正の整数から正の整数への写像fは存在しないことを示せ。

fの定義域だけではなく、値域も「正の整数」でないといけません。
miyano
2009/10/24 12:31 PM
うーん、以下の背理法であってるかな?

--------
このようなfが存在すると仮定する。

fは単射である。(単射でないとすると、f(n)=f(m)となるn,m(n!=m)が存在し、f(f(n))=f(f(m))となるが、一方f(f(n))=n+1、f(f(m))=m+1よりf(f(n))!=f(f(m))であるから矛盾する)

f(1)=kとおく...(1)
fの定義よりkは正の整数であり、k!=1である。(k=1だとするとf(f(1))=f(1)=1となり定義に矛盾するため)

また、定義よりf(f(k-1))=kである。
ここで右辺に(1)を代入してf(f(k-1))=f(1)
fが単射であるから f(k-1)=1...(2)

さらに定義より以下が成り立つ
f(2n)=f(f(...f(n)...)) (fは2n個並んでいます)
=f(n)+n...(3)

ここでn=2k-2のときを考える。
f(2k-2)=f(2(k-1))
=f(k-1)+k-1 [(3)より]
=1+k-1 [(2)より]
=k
=f(1) [(1)より]

fが単射であるから2k-2=1であり、これを解いてk=3/2。
これはkが整数であることと矛盾する。
したがってこのようなfは存在しない。
dsk
2009/10/24 06:33 PM
fが単射であることとその証明、(2)式までは正しいと思います。
(2)式ではkは特定の1つの数を表しています。これは、
f(f(1)-1) = 1
と書いても同じ意味です。

(3)式ですが、
前半は、f(f(2n-1)) = 2n-1 + 1 = 2nだから、
f(2n) = f( f(f(2n-1) ) = f^3(2n-1) = ... = f^{2n+1}(n)
となります。すなわち f は 2n+1個並びます。
後半は、
f^{2n+1} (n) = f^{2n-1}(n)+1 = ... = f^3(n) + n-1 = f(n) + n
ですね。
(3)式の成立自体は正しいです。

残りの議論で f(1) = 3/2 を導く過程も問題なく正しい解答だと思います。


これは実は、数学オリンピックの1987年の問題(この年は易しい問題が
多かったです)を易しく改題したもので、元の問題は
f(f(n) = n+1
のところが
f(f(n) = n+1987
になっているものです。
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すぐお返事が来て
その日の内に
発送して下さいました!
商品は、まだですが
とても素敵なショップさんなので
先にショップレビューだけさせて頂きました。
また何か購入したいと思います。
ルイ.ヴィトンバッグコピー品
2017/10/23 07:33 AM
連絡、配送共に迅速にして頂き感謝です。梱包がとても丁寧で、何だか申し訳なくなる思いでした。お店の方が商品をきちんと大切に扱っていらっしゃることがよく分かりました。配送方法ですが、ヤマト運輸さんも扱って頂けたら個人的には嬉しいので、一つだけ☆を控えめにさせて頂きました。またご縁がありますように。
偽物ロレックス
2017/11/05 05:11 AM
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S品マイケルコース
2017/11/11 12:28 PM
シャネルのショルダーバックを購入したのですが、商品自体の状態が良くとても満足しました。梱包もプチプチのクッションがぐるぐると厳重に巻かれていて、お店が商品を大切に扱っているのが良く伝わりました。商品と同封されていたお手紙とお店のチラシは、またお世話になるかもとバックと一緒にとってあります。また良い商品があったらぜひ購入したいです♪
★CHANEL シャネル★マトラッセ★ダブルチェーンショルダーバッグ★ラムスキン★ブラック×ゴールド金具★斜め掛け可能★
Nランクということだったので傷が沢山ついていたら・・と思っていたのですが、来た商品は写真どおり傷が少なく大満足です!!また機会があったらこのお店で購入したいです。
S品マイケルコース http://www.nawane111.com/panerai.htm
ロレックスコピー
2017/11/11 07:44 PM
注文から発送開始までとても早く問題なく受け取りました。
また本物証明書も同封されていたので安心です。
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今回、初めての新品商品購入でした。最近新品でこのデザインが手に入りにくくなっている事からの新品商品購入でした。商品案内通りの状態でしたので価格的にも納...
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2017/11/29 06:04 AM
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大変満足しました。丁寧で気持ちがよかったです。
ありがとうございました。
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